ĐỀ KIỂM TRA THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: ( 3 điểm)
Cho biểu thức:

1- Rút gọn biểu thức A.
2- Tính giá trị của A khi
.
3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2: (3 điểm)

1- Cho phương trình:
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m=2.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
thõa mãn
.
2- Cho phương trình
(I)
a) Giải hệ (I) với
.
b) Tìm các giá trị của
để hệ (I) vô nghiệm.

Câu 3: (3 điểm)

Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N thuộc đoạn AM, vẽ đường tròn (O) có đường kính AN.
1- Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc A với (O). Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O).
2- Đường tròn tâm (O) cắt AB tại K, cắt AC tại H, KH cắt AD tại I.
Chứng minh:
.
3- Chứng minh: NH.CD = NK. BD.

Câu 4: (1 điểm)

Tính tổng:

ĐÁP ÁN
Câu I: (3)
1- (1)
Điều kiện xác định:
(0,25)

(0,25)

(0,5)

2- (1)

(0,5)
Dấu “ =’’ xảy ra
(0,25)
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0. (0,25)

3- (1)
Với x =


(0,5)
Ta có:
(0,5)

Câu II: (3)

1- (1,5)
a) Khi m = 2 ta có phương trình:
(0,25)
Ta có a + b + c = 0, suy ra phương trình có nghiệm x = 1, x = 6 (0,25)
b) Nếu m=1: Ta có phương trình: -5 x + 5 = 0: phương trình chỉ có một nghiệm.
Nếu
:
Nhận thấy a + b + c = 0 nên để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
(
) (0,25)
Khi đó hai nghiệm của phương trình (1) là:
(0,25)
Yêu cầu bài toán tương đương đương với:
(0,5)
Vậy
là giá trị cần tìm.
2- (1,5)
a)
Với
thì hệ (I) trở thành:

(0,5)
(I)
(0,5)
Hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm

(0,5)
Vậy a = -2, a = 3 là giá trị cần tìm.

Câu III:












1- Ta có: AE và AF là hai tia phân giác của hai goc kề bù đỉnh A nên
(1)
Do đó EF là đường kính của đường tròn (O).

2-
Ta có:
( AD là tia phân giác)




Ta lại có:
( góc có đỉnh bệ trong đường tròn).
Do đó:
(0,25)
Xét
và
có:

( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (0,25)

( chứng minh trên)

Do đó
đồng dạng với
(0,25)

(0,25)
3-
Ta có
,

(0,25)

,

Do đó
(0,25)

(1)
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có
(2) (0,25)
Từ (1) và (2) suy ra
(0,25)

Câu IV:

Ta có:

............................................................................................


(0,5)



( vì từ 2 đến 2008 có 2007 số)



(0,5)